domingo

OPERACIONES CON CONJUNTOS


UNIÓN U 
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto Unión de los dos, que se denota como A\cup B el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como\bigcup S de manera que sus elementos son todos los x\in X tales que X\in S. De esta manera A\cup B es el caso especial donde S=\{A,B~\}.
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a A\cup B es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir
x\in(A\cup B)\iff(x\in A)\vee(x\in B)
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
~A= \{\triangle, \bigcirc, 6\}
~B= \{\star, 6, \dagger, \square\}
~C= \{\square, 14, \star, \clubsuit\}
~S=\{A,B,C\}
Entonces
A\cup B = \{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square\}
A\cup C = \{\triangle,\bigcirc,6,\square,14,\star,\clubsuit\}
\bigcup S=\{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square,14,\clubsuit\}
~A \cup \emptyset= A
~A \cup A = A
Intersección ∩
Los elementos comunes a ~A y ~B forman un conjunto denominado intersección de ~A y ~B, representado por A\cap B . Es decir, A\cap B es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:
A\cap B = \{x\in A:x\in B\}.
Si dos conjuntos ~A y ~B son tales que A\cap B =\emptyset, entonces ~A y ~B se dice que son conjuntos disjuntos.
Es claro que el hecho de que x\in A\cap B es condición necesaria y suficiente para afirmar que x\in A y x\in B. Es decir
x\in(A\cap B)\iff (x\in A)\wedge(x\in B)
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
~A= \{2, 4, 6\}
~B= \{4, 6, 8, 10\}
~C= \{10, 14, 16, 26\}
Entonces:
A\cap B = \{4,6\}
A\cap C = \emptyset
A\cap \emptyset = \emptyset
A\cap A = A


Particiones

Dado un conjunto A y una serie de subconjuntos Ai, se dice que Ai son particiones de A cuando la unión de todas es el conjunto A, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos Ai, forman parte del conjunto mas grande denotado A.


Diferencia

Los elementos de un conjunto ~A que no se encuentran en otro conjunto ~B, forman otro conjunto llamado diferencia de ~A y ~B, representado por ~A\setminus B. Es decir:
A\setminus B= \{x\in A:x\notin B\}.
o dicho de otra manera:
x\in(A\setminus B)\iff (x\in A) \wedge (x\notin B)
Algunas personas prefieren denotar la diferencia de A~ y B~ como A-B~.
Una propiedad interesante de la diferencia es que
A\cap B=A\setminus(A\setminus B)
eso es porque
\begin{array}{rcl} x\in A\cap B & \iff & (x\in A) \wedge (x\in B)\\ &\iff& (x\in A) \wedge (x\notin A\setminus B)\\ &\iff& x\in A\setminus (A\setminus B) \end{array}
Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple
A\setminus\emptyset = A
\emptyset\setminus A = \emptyset
\{0,1,2,3\}\setminus\{3,2\}=\{0,1\}


Complemento

El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por  A^\complement . Es decir
A^\complement=U\setminus A
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que A\subseteq U y B\subseteq U, entonces
x\in \left (A\setminus B\right) \iff x\in \left(A\cap B^\complement\right),
de manera que
A\setminus B=A\cap B^\complement
Pero también
\begin{array}{rcl} x\in \left (A\cap B^\complement\right ) & \iff & x\in A \wedge x\in B^\complement \\ &\iff& x\in B^\complement \wedge \ x\in A\\ &\iff& x\in B^\complement \wedge x\notin A^\complement\\ &\iff& x \in\left (B^\complement\setminus A^\complement\right) \end{array}
de modo que
~A\setminus B = \left (B^\complement\setminus A^\complement\right)


Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos A y B, a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos, se define la diferencia simétrica.
B\Delta A = \left (B\setminus A\right )\cup\left (A\setminus B\right )
Los elementos de dos conjuntos A , B y C , a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos.
B\Delta A\Delta C =\left [(A\setminus B\right )\wedge\left (A\setminus C\right )] \cup\left [(B\setminus A\right )\wedge \left (B\setminus C\right )] \cup\left [(C\setminus A\right )\wedge \left (C\setminus B\right )]
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