MIS MATEMÁTICAS: OPERACIONES CON CONJUNTOS

UNIÓN U

Para cada par de conjuntos

A

B

existe un conjunto Unión de los dos, que se denota como $A\cup B$ el cual contiene todos los elementos de

A

y de

B

. De manera más general, para cada conjunto

S

existe otro conjunto denotado como $\bigcup S$ de manera que sus elementos son todos los $x\in X$ tales que $X\in S$ . De esta manera $A\cup B$ es el caso especial donde $S=\{A,B~\}$ .

Es claro que el hecho de que un elemento

x

pertenezca a $A\cup B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que

x

es un elemento de

A

o al menos de

B

. Es decir

$x\in(A\cup B)\iff(x\in A)\vee(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{\triangle, \bigcirc, 6\}$

$~B= \{\star, 6, \dagger, \square\}$

$~C= \{\square, 14, \star, \clubsuit\}$

$~S=\{A,B,C\}$

Entonces

$A\cup B = \{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square\}$

$A\cup C = \{\triangle,\bigcirc,6,\square,14,\star,\clubsuit\}$

$\bigcup S=\{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square,14,\clubsuit\}$

$~A \cup \emptyset= A$

$~A \cup A = A$

Intersección ∩

Los elementos comunes a $~A$ y $~B$ forman un conjunto denominado intersección de $~A$ y $~B$ , representado por $A\cap B$ . Es decir, $A\cap B$ es el conjunto que contiene a todos los elementos de

A

que al mismo tiempo están en

B

$A\cap B = \{x\in A:x\in B\}$ .

Si dos conjuntos $~A$ y $~B$ son tales que $A\cap B =\emptyset$ , entonces $~A$ y $~B$ se dice que son conjuntos disjuntos.

Es claro que el hecho de que $x\in A\cap B$ es condición necesaria y suficiente para afirmar que $x\in A$ y $x\in B$ . Es decir

$x\in(A\cap B)\iff (x\in A)\wedge(x\in B)$

Ejemplos: si tenemos los conjuntos

$~A= \{2, 4, 6\}$

$~B= \{4, 6, 8, 10\}$

$~C= \{10, 14, 16, 26\}$

Entonces:

$A\cap B = \{4,6\}$

$A\cap C = \emptyset$

$A\cap \emptyset = \emptyset$

$A\cap A = A$

Particiones

Dado un conjunto

A

y una serie de subconjuntos

A i

, se dice que

A i

son particiones de

A

cuando la unión de todas es el conjunto

A

, y la intersección de todas es el conjunto vacío. Es decir, que los subconjuntos

A i

, forman parte del conjunto mas grande denotado

A

Diferencia

Los elementos de un conjunto $~A$ que no se encuentran en otro conjunto $~B$ , forman otro conjunto llamado diferencia de $~A$ y $~B$ , representado por $~A\setminus B$ . Es decir:

$A\setminus B= \{x\in A:x\notin B\}$ .

o dicho de otra manera:

$x\in(A\setminus B)\iff (x\in A) \wedge (x\notin B)$

Algunas personas prefieren denotar la diferencia de $A~$ y $B~$ como $A-B~$ .

Una propiedad interesante de la diferencia es que

$A\cap B=A\setminus(A\setminus B)$

eso es porque

$\begin{array}{rcl} x\in A\cap B & \iff & (x\in A) \wedge (x\in B)\\ &\iff& (x\in A) \wedge (x\notin A\setminus B)\\ &\iff& x\in A\setminus (A\setminus B) \end{array}$

Ejemplos: Sin importar cual conjunto

A

elija usted, siempre se cumple

$A\setminus\emptyset = A$

$\emptyset\setminus A = \emptyset$

$\{0,1,2,3\}\setminus\{3,2\}=\{0,1\}$

Complemento

El complemento de un conjunto

A

, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto

U

pero no pertenecen a

A

, que lo representaremos por $A^\complement$ . Es decir

$A^\complement=U\setminus A$

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

En vista de que $A\subseteq U$ y $B\subseteq U$ , entonces

$x\in \left (A\setminus B\right) \iff x\in \left(A\cap B^\complement\right)$ ,

de manera que

$A\setminus B=A\cap B^\complement$

Pero también

$\begin{array}{rcl} x\in \left (A\cap B^\complement\right ) & \iff & x\in A \wedge x\in B^\complement \\ &\iff& x\in B^\complement \wedge \ x\in A\\ &\iff& x\in B^\complement \wedge x\notin A^\complement\\ &\iff& x \in\left (B^\complement\setminus A^\complement\right) \end{array}$

de modo que

$~A\setminus B = \left (B^\complement\setminus A^\complement\right)$

Diferencia simétrica

Los elementos de dos conjuntos A y B, a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos, se define la diferencia simétrica.

$B\Delta A = \left (B\setminus A\right )\cup\left (A\setminus B\right )$

Los elementos de dos conjuntos A , B y C , a excepción de aquellos elementos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos.

$B\Delta A\Delta C =\left [(A\setminus B\right )\wedge\left (A\setminus C\right )] \cup\left [(B\setminus A\right )\wedge \left (B\setminus C\right )] \cup\left [(C\setminus A\right )\wedge \left (C\setminus B\right )]$

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